量子情報学

1量子ビット系

　１つの量子ビットからなる量子系

　ある物理系で測定すると２つの値が統計的な確率で出てくる。

　　　e.g. 量子のスピン、光の偏向、超電導量子回路

　量子ビット1つは2次元の複素ベクトル空間で表すことができる。ℂ²

 |ψ⟩=(α)      と    |ϕ⟩=(γ)      の内積 :

　　（β)                    (δ)

⟨ψ│ϕ⟩≔α ̅⋅γ+β ̅⋅δ

α ̅:  αの共役複素数

               α=x+iy⟺α ̅=x-iy        (x,y∈R)

Ket vector                        bra vector

      |ψ⟩=(α)                       ⟨ψ|=(α ̅     β ̅ )

              (β)                        

これを使うと、上記の |ψ⟩  と    |ϕ⟩   の内積は 

⟨ψ│ϕ⟩≔⟨ψ|⋅|ϕ⟩=(α ̅　β ̅ )⋅(γ)

　　　　　　　　　　　(δ)
                                    =α ̅⋅γ+β ̅⋅δ

と表せる

複素空間においてもベクトルの長さ（Norm）や単位ベクトルの考え方は実ベクトルと一緒。

Norm (length of a vector) of |ψ⟩:

‖ψ‖≔‖ ├|ψ⟩  ‖≔√(⟨ψ│ψ⟩ )
                               =
                               =√(α ̅⋅α+β ̅⋅β)

                             =√(|α|^2+|β|^2 )

|ψ⟩ is a unit vector   ⟺ ‖ψ‖=1   

        ⟺|α|^2+|β|^2=1

 ⟨ψ│ϕ⟩の内積の特徴:

1. ⟨ψ│ψ⟩≥0
2. ⟨ψ│ϕ⟩=(⟨ϕ│ψ⟩ ) ̅
3. ⟨ψ│c_1 ϕ_1+c_2 ϕ_2 ⟩=c_1 ⟨ψ│ϕ_1 ⟩+c_2 ⟨ψ│ϕ_2 ⟩

       ⟨c_1 ψ_1+c_2 ψ_2│ϕ⟩=¯(c_1 )  ⟨ψ_1│ϕ⟩+¯(c_2 )  ⟨ψ_2│ϕ ⟩

二次元複素ベクトル空間ℂ²の正規直交基底

定義Def.     {|e_0 ⟩,├e_1 ⟩} は ℂ²の正規直交基底orthonormal basis

  ⟺    ⟨e_i│e_j ⟩=δ_ij     (∀i,j∈{0,1})

           Kronecker’s delta: δ_ij=(0    (i≠j)  )

　　　　　　　　　　　　　 (1    (i=j)) )

      ⟨e_i│e_j ⟩=δ_ij  (∀i,j∈{0,1})
⟺⟨e_0│e_1 ⟩=⟨e_1│e_0 ⟩=0  and ⟨e_0│e_0 ⟩=⟨e_1│e_1 ⟩=1

⟺⟨e_0│e_1 ⟩=0  and ‖e_0 ‖=‖e_1 ‖=1

量子コンピュータで使うℂ²ベクトル

① {|0⟩,|1⟩},      

|0⟩≔(1）|1⟩=(0)

　  （0),       (1)

②{|+⟩,|-⟩},
|+⟩=1/√2 (1)     |-⟩=1/√2 (1)

                (1),                   (-1)

 {|e_0 ⟩,|e_1 ⟩}ℂ²の正規直交基底だとすると

任意の |ψ⟩ は以下のように表すことができる。

|ψ⟩=c_0 |e_0 ⟩+c_1 |e_1 ⟩,

  ただし c_0,c_1∈C.

c_0とc_1はe_0,e_1とψの内積で表すことができる。

c_0=⟨e_0│ψ⟩,
c_1=⟨e_1│ψ⟩.